Kladrubský urodził się 19 listopada 1985 roku w Czeskich Budziejowicach. W przeszłości występował w Dynamie Czeskie Budziejowice, Sparcie Praga, Slovanie Liberec i greckim AEL-u Kalloni.

30-letni piłkarz z powodzeniem radził sobie także grając na środku obrony. W swoim kraju uchodzi za solidnego piłkarza, świadczą również o tym liczby. Oprócz 123 meczów w czeskiej ekstraklasie, 66 w najwyższej lidze na Słowacji, zanotował 21 meczów w Lidze Europy oraz 17 w kwalifikacjach Ligi Mistrzów. Kladrubský, który w czeskiej młodzieżówce grał z Michalem Papadopulosem, ma na swoim koncie dwa mecze w seniorskiej reprezentacji Czech.

Ostatnim klubem w karierze pomocnika był grecki AEL Kalloni (rozegrał 11 meczów). Pod koniec 2015 roku rozwiązał kontrakt i jest obecnie wolnym zawodnikiem. W greckim klubie występował ze znanymi z polskiej ligi Krzysztofem Królem i Ugo Ukah-em.